Was ist 0? Alles zu Teilen, Potenz und mehr! | Superprof (2024)

Schon die Mathematik lehrt uns, dass man Nullen nicht übersehen darf.

Gabriel Laub

Die Zahl 0 wird gemein eher als negativ angesehen. Oft steht sie für "absolut nichts", sei es in Bezug aufs Konto oder den Wissensstand. Dabei ist die Null in der Mathematik eine extrem wichtige Zahl, wenn nicht sogar die wichtigste. Sie wird zum Markieren einer Vakuumposition oder auch als Zahl zum Ausdrücken einer Nullmenge genutzt und dient unter anderem dazu, die positiven Zahlen von den negativen Zahlen abzugrenzen.

Sie spielt nicht nur eine große Bedeutung in mathematischen Berechnungen, sondern hat auch eine traditionsreiche und spannende Geschichte. Denn erst mit der Erfindung des Stellenwerts konnte die 0 als Zahl definiert werden.

Null ist eine ganze Zahl, die genau zwischen dem negativen und dem positiven Zahlenbereich steht. Sie ist die einzige reelle Zahl, die weder positiv noch negativ ist und steht in der Folge der ganzen Zahlen zwischen der Minus-Eins und der Eins.

Wusstest du, dass es die Zahl i gibt – Buchstabe und Zahl in einem! Hier ist aber erstmal unsere kleine Einführung in die Zahl 0, ihre Geschichte und ihre Verwendung!

Die jahrtausendealte Geschichte der Null

Die Einführung der Null in das Zahlensystem, um die Abwesenheit von Gegenständen oder Mengen darzustellen, wurde von unseren Vorfahren nicht ohne einen gewissen Widerstand vorgenommen. Denn die schriftliche Darstellung von Nichts passte nicht zu der philosophischen und religiösen Auffassung vergangener Zivilisationen.

Die alten Griechen hielten das, was existiert, für "eins", denn es fehlte ihnen die Fähigkeit der Abstraktion, schriftlich darzustellen, was nicht vorhanden ist. Daher hatten die Griechen kein Schriftsystem, das Null in ihre Nummerierung einbezog, da die Leere ihr rationales Verständnis von Zahlen übertraf.

Später wurde in Babylon eine Lücke verwendet, um zwischen zwei Zahlen eineStelle ohne Wert darzustellen. Also 3 5 statt 305. Während des 1. Jahrtausends n. Chr. verwendeten die Maya die Null ebenfalls als Platzhalter zwischen Zahlen.

Schon gewusst, dass es sogar eine goldene Zahl gibt?

Erst im 5. Jahrhundert tauchte die Null als eigenständige Zahl auf: Hindus, die den Kosmos als ein bis ins Unendliche reichendes Universum darstellten, erfanden die Null – sunya, was auf Sanskrit "leer" bedeutet – und nutzten sie nach den gleichen Regeln, wie wir sie heute kennen.

Die Erkentnisse der Hindus wurden von den Arabern übernommen, die sie im 7. Jahrhundert in viele Teile der Erde verbreiten. Wenn wir hier davon sprechen, dass wir arabische Ziffern verwenden, meinen wir also tatsächlich indische Zahlen!

Erst im 12. Jahrhundert taucht die Null in Europa auf – eingeführt durch die arabische Sprache, die im muslimischen Spanien gesprochen wird sowie arabische Mathematiker. Das Misstrauen der römisch-katholischen Kirche sorgt allerdings dafür, dass es noch etwas braucht, bis die Existenz der Leere wirklich akzeptiert wird.

Das System der Dezimalzahlen bereichert die Berechnungen und erleichtert auch den internationalen Handel. So tragen die Kaufleute dazu bei, die Null in die Nummerierung einzufügen, obwohl die Kirchenvertreter die Verwendung der Null verboten hatten.

Übrigens ist aucheeine Zahl mit besonderer Bedeutung.

Das vom italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci (1175-1250) eingeführte arabische Wort sifr wird ins Lateinische zephirum übersetzt und dann allmählich zu zephiro, zeuero, cero (Spanisch), zero auf Englisch oder zéro auf Französisch. Die deutsche "Null" kommt vom Italienischen nulla, was "nichts" bedeutet und wiederum aus dem Lateinischen kommt (nullus).

Die Bedeutung von Null

Die Zahl 0 hat nicht nur eine mathematische Bedeutung, sondern auch eine philosophische, religiöse oder kulturelle. Null bedeutet nicht nur den Punkt der Trennung zwischen negativen und positiven Ganzzahlen, sondern auch die Abwesenheit von Quantität (Einheit, Zehner, Hunderter usw.).

Wie schon erwähnt kennzeichnet die Null das Nichts und die Leere, manchmal auch das Chaos und den Teufel. Die Ziffer 0 steht oft aber auch für den Zustand des Wertlosen und Kostenlosen. Sie stellt den Ursprung aller Dinge dar (das "Jahr Null", die "Stunde Null") und istaufgrund ihrer Kreisform auch ein Symbol für Einheit und Ewigkeit.

Kennst du auch schon die perfekten Zahlen, auch vollkommene Zahlen genannt?

Auch in vielen gängigen Ausdrücken kommt die Null vor. Du kennst sicher den Ausrdruck "Nullnummer" oder "bei Null anfangen. Ausdrücke mit dem Wort "Null" können abwertend oder positiv sein. Sie bedeuten einen Neuanfang, etwas Positives, etwas nicht Vorhandenes oder etwas Schlechtes. Und auch in der Mathematik kann diese Zahl verschiedene Bedeutungen haben.

Hier sind noch weitere Bedeutungen, die mit Null verbunden sind:

• Erneuerung
• Sicherheit (durch die runde und geschlossene Form)
• Fruchtbarkeit, Weiblichkeit
• Perfektion
• Zyklus, Regeneration

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Mathematische Eigenschaften der Null

In der Mathematik sind einige Eigenschaften dieser Zahl nicht so offensichtlich, wie es zunächst scheint. Null ist eine Kardinalzahl, die die leere Menge repräsentiert. Die Zahl Null hat einige Besonderheiten, die man bei den Rechenregeln finden kann:

• Es ist die kleinste natürliche ganze Zahl.
• Sie istdie einzige reelle Zahl, die weder positiv noch negativ ist.
• Ist das neutrale Element der Addition.
• Ein absorbierendes Element der Multiplikation.
• Die Division durch Null ist stets Null.

Auch die Zahl Pi hat einige Besonderheiten.

Wie du siehst, ändert das Hinzufügen oder Abziehen von Null zu einer beliebigen Zahl das Ergebnis nicht. Sie ist der einzige Wert, der ein unverändertes Ergebnis liefert, wenn er subtrahiert oder zu einem anderen addiert wird. Ähnlich verhält es sich bei der Multiplikation.

Die Besonderheiten bei der Division und Potenzrechnung sind in der Mathematik etwas komplizierter, weshalb wir sie in einem eigenen Kapitel zusammengestellt haben.

Division mit Null

Eine der wichtigsten Regeln der Mathematik wirst du sicher aus dem Schulunterricht kennen: man kann nicht durch Null teilen! Der Versuch, eine beliebige Zahl durch 0 zu teilen, verstößt gegen das Permanenzprinzip und ist mathematisch unmöglich.

VonPrimzahlen hast Du aber sicher schon mal gehört, oder?

Doch warum ist das so?

Bevor wir zu mathematischen Erklärungen und Beispielen kommen, gehen wir die Sache erstmal rein logisch und alltagstauglich an.

Dieses kleine Alltagsbeispiel zeigt das Phänomen, das auch eine mathematische Erklärung hat: eine Division durch Null ist unmöglich!

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Für jede Teilrechnung, also Division, kann man eine Gegenprobe durchführen, also den Rückwärtswert berechnen. Dabei nutzt man gegenteilige Rechenoperationen, z.B. Addition und Subtraktion: 4+6 = 10. Gegenprobe: 10-6 =4. Wie Du bestimmt weißt, kann man die Gegenprobe einer Division mit einer Multiplikation berechnen: 8:2 = 4. Gegenprobe: 4x2 = 8.

Anhand des folgenden Beispiels zeigen wir dir mathematisch, warum man nicht durch Null teilen kann:

• Stell zwei Gleichungen auf, die zumindest mal plausibel klingen: 8:0 = 0 oder 8:0 = 8.
• Führt man nun für beide Rechnungen die Gegenprobe durch, also 0x0 = 0 und 0x8 = 0, erhält man als Ergebnis stets eine Null und keine 8.
• Die Gegenprobe war somit nicht erfolgreich, das Teilen durch 0 führt zu keinem korrekten Ergebnis.

Eine weitere mathematische Erklärung ist die Annäherung an Null. Wenn du versuchst, die Zahl, durch die du teilen möchtest, immer weiter an 0 anzunähern, wirst du merken, dass je weiter wir uns der Null nähern, desto größer wird der Quotient (also das Ergebnis).

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Das Problem: Die Unendlichkeit ist keine Zahl. Wenn wir also durch 0 teilen würden und entsprechend die Unendlichkeit als Ergebnis definieren würden, hätten wir wieder das Problem, dass wir mithilfe der inversen Rechenoperation Multiplikation nicht auf den Ausgangswert zurückkommen.

Wie Du siehst, gibt es also mindestens schon diese zwei Beispiele, die belegen, dass das Teilen durch 0 schlicht nicht möglich ist.

Potenzrechnung mit Null

Schauen wir uns eine weitere Frage an, die oft im Zusammenhang mit der Zahl 0: Was ist null hoch null, also 0⁰? Im Gegensatz zur Frage, ob man durch 0 teilen kann, kann die Frage nach der Potenz von Null nicht eindeutig beantwortet werden.

Im Folgenden wollen wir dir einige Überlegungen bzw. Hypothesen zu diesem Problem darlegen, die du auch in der Mathe Nachhilfe onlinebesprechen kannst:

Erste Überlegung 0⁰ = 1

Man könnte argumentieren dass null hoch null = 1 ist, weil für jede Zahl gilt: a⁰ = 1. Dafür spricht auch das Permanenzprinzip, das besagt, dass schon bestehende Regeln und Definitionen wenn möglich auch beim vorliegenden Problem angewendet werden sollen.

Weil also sowieso schon gilt 3⁰ = 1, 2⁰ = 1 oder 1⁰ = 1, wäre 0⁰ = 1 eine logische Fortführung dieser Regel. Damit soll Konsistenz in verschiedenen Berechnungen gewährleistet werden.

Zweite Überlegung 0⁰ = 0

Andere vertreten eher die Auffassung, 0⁰ müsse 0 sein, weil für null hoch eine beliebige Zahl die Null herauskommt: 0ⁿ = 0. Warum das so ist, lässt sich leicht erkennen, wenn man ausschreibt was "hoch" eigentlich bedeutet, nämlich:

• 0³ = 0·0·0
• 0² = 0·0
• 0¹ = 0

Dementsprechend könnte man folgern: 0⁰ = 0. Diese Überlegungen beschäftigen Mathematiker schon seit dem 19. Jahrhundert.

Vielleicht kann dir Mathe Nachhilfe vor Ort oder online per Webcambei den Unsicherheiten helfen.

Dritte Überlegung 0⁰ = nicht definiert

Weil sich die ersten beiden Optionen gegenseitig widersprechen und somit keine Eindeutigkeit vorliegt, plädieren manche Mathematiker*innen dafür, 0^0 als nicht definiert festzulegen (so wie das Teilen durch 0).

Welche der Überlegungen für eine Berechnung sinnvoll ist, hängt vor allem davon ab, wie das vorliegende mathematische Problem aussieht.

Was ist die Fakultät von 0?

Zum Schluss wollen wir uns noch eine weitere Frage im Zusammenhang mit der Ziffer 0 ansehen, und zwar: Was ist 0 Fakultät, also 0! ? Du erinnerst Dich gerade gar nicht mehr, was Fakultät in der Mathematik überhaupt bedeutet?

Natürliche Zahlen sind alle ganzen Zahlen ab 1 (je nach Definition inkl. 0). Nicht dazu zählen Dezimalzahlen (also Zahlen mit Komma-Stellen) und negative Zahlen (also -1, -2, -3 usw.).

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Die Fakultät n! bedeutet nun, dass man alle natürlichen Zahlen bis und einschließlich n miteinander multipliziert.

Bei der Fakultät von 0 stellt sich jetzt natürlich die Frage, was das sein kann, weil man ja eigentlich keine natürliche Zahl davor hat, die man mit 0 multiplizieren könnte. Und selbst wenn, müsste das ja eigentlich 0 ergeben.

Nun, hier können wir uns leider nicht auf unseren nicht-mathematischen Alltagsverstand verlassen, denn Mathematiker*innen haben definiert: 0! = 1. Manche Regeln der Mathematik muss man einfach akzeptieren.

Bei uns kannst du noch mehr besondere Zahlen der Mathematik kennenlernen.